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我们把球面切成一条一条细条,让我们看看阴影部分的面积是多少。这是一个环,半径是上图中的 EB,如果把它剪开,就是一个长度为 2*PI*EB的带子,这个带子的宽度并不是上图中的CB ,而是AB,换言之,这个环的面积是
2*pi * EB * AB
但是从上图看出角度<1 与角度 <2相等,也就是说三角形ABC与三角形OAD相似,因此
CB : AB = DA: OA
由于切片很薄,我们有 DA=DC=EB,另外 CB=ED=h, OA = r
所以,h: AB = EB : OA = EB : r
所以,EB * AB = h * r
所以,那个阴影部分的环状面积是 2 *pi * r * h
也就是说,这个高为h的环的表面积等于一个高为h , 半径为球半径的圆柱表面积。
因此,整个球的表面积等于一个高为 2*r , 半径为r 的圆柱表面积 = 2*r * 2* pi *r = 4 *pi * r^2 = [ix]4\pi r^2[/ix]
一个球可以视为以球心为顶点,半径r为高度的微小凌锥的叠加,而凌锥体积是 其底面积乘以高度除以3,因此,球的体积是
4*pi * r^2 * r /3 = 4/3 pi * r^3
[tx]V= \frac{4\pi r^2 \times r }{3 }= \frac{4\pi}{3} r^3[/tx]
当然了,如果用微积分,上诉圆面积计算就简单多了
[tx]A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2 \pi r \cos \theta r d\theta = 2\pi r^2 \sin\theta|_{-\pi/2}^{\pi/2} = 4\pi r^2[/tx]
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