在上面的图中，我们把球切成2N个薄片，也就是每片的厚度为 h = r/N。上图中，阴影处为其中一片，它的体积是其底面积乘以高度  h。底面积是半径为AB的园，也就是 pi * AB^2。

根据勾股定理， AB^2 = r^2 - OA^2.

对于第n个切片，OA = n/N * r 

因此，第n个切片的体积是

h*pi* AB^2 = pi * (r^2- OA^2) = h* pi * (r^2 - n^2/N^2 r^2)  

[tx]\frac{r}{N} \pi AB^2 = \frac{r}{N}(r^2-\frac{n^2}{N^2}r^2) = \frac{\pi r^3}{N} - \pi r^3 \frac{n^2}{N^3}[/tx]

把N个切片的体积加起来，就是半个球的体积了。上面的第一项好办，但第二项里面有一个  n^2，所以我们要知道怎么把 1^2 + 2^3 +...N^2求和。

 可以证明，1^2 + 2^3 +...N^2 = 1/3 N^3 + 1/2 N^2 + 1/6 N

当N无限大时，上面这个数除以N^3等于 1/3.

所以，半个球的体积是

pi r^3 - 1/3 pi r^3 = 2/3 pi r^3

所以，球的体积是 4/3 pi r ^3 --- [ix]\frac{4}{3} \pi r^3[/ix]