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日志

风动力车跑得比风快? 物理教授与网红科普人对赌1万美金的问题 ... ... ... ... ... .. ...

热度 1已有 357 次阅读2021-7-20 01:52 |个人分类:科普|系统分类:科技

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最近在网上看到一个趣事,ULCA的天体物理教授 Alexander Kusenko 跟网络科普青年Derek Muller (他有个叫 Veritasium 的Youtube 频道)就一个物理问题打赌一万美金,并请了几名网络知名的物理学家如  Sean Carrol 等人作证,双方签字画押,绝不反悔。缘由是 Kusenko  看到科普青年发的一个视频,上面有辆装了个螺旋桨、完全靠风力推动的车子,在风中不断加速,最后速度竟达到风速的三倍。必须一开始就指出的是,这个试验里车上的螺旋桨并不是像风车一样顺着风转动,而是有个耦合的链条齿轮结构把螺旋桨与车轮连起来,车向前的时候,螺旋桨像是风扇一样向后吹风。Kusenko  教授说你这肯定错了,车速是不可能超过风速的,还写了个基于能量守恒的证明。理论上 Muller 显然说服不了天体物理教授,两人相持不下。Muller 于是亲自去做实验,车子在风中不断加速,最后确实大大超过风速,为了安全起见停车。

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我们第一直觉是确实是车速是不可能超过风速的,因为当你超过风速时,风由从后面推着车前进,变成了车子顶风而上,怎么能越跑越快呢?新增的动能从何而来?装了螺旋桨那也是顶风啊。我看了一下 Muller 的解释说什么轮子向前的摩擦力做功,这是显然的基本概念错误,还有一个研究空气动力学的搬出流体力学、什么哪压强大,越扯越玄乎。我于是也思考了下这个问题,下面做一个简单的解释。

首先,风必须是在背后吹才能产生向前的推力这是基本直觉与基本物理,顶风受阻也是必然的。但是螺旋桨是转动的,我们需要计算空气相对于螺旋桨叶面的速度,一旦考虑到这一点,事情就明朗了。以车为参照,当车速超过风速时,确实风是迎面而来,是阻力,但螺旋桨如果横扫过来速度足够快,却可以用桨的背面打在迎着车子而来的空气上。如下图。

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上图需要详细解释一下读者才知道这是什么。这是一个从空中跟着车子从上面俯视看螺旋桨叶片的示意图,车子没按比例,仅做示意,驾驶员面对方向为前方。螺旋桨简化成一个长方形的板子,图中显示的一块叶片正好转到垂直方向时的俯视图,看到长方形叶片的短边,此时螺旋桨叶片正在以速度 P 向右方横扫。当然,实际叶片在作圆周运动,图中叶片往下的部分也在横扫,但速度要小些。W是相对于车的风速。需要注意的是这个图是以车为参照物,车是静止的。图画出来了,问题是什么?

问题是,风打在螺旋桨叶片的哪一面?在计算之前,我们不妨看看各种情况。假设螺旋桨不动,图中的风显然是打在图中螺旋桨叶片朝车子前方的一面,我们把这一面称为正面;在这种情况下,风对叶片产生的压力是朝右后方的。车的设计安装了对称的叶片,因此压力在图中水平方向的部分被抵消了,合力就是对车产生向后的阻力。

假如螺旋桨速度足够快这样横扫过去呢?是不是叶片背面可能打在“风”上?或者从叶片角度看,说风打在背面上。如果是出现这种情况,那么风对叶片产生的压力是朝左前方的。这样就是风力推动车子了。螺旋桨飞机在向前飞行,从飞机角度是迎风前进,正是这个道理 -- “风”是打在螺旋桨叶片的背面。

让我们计算风相对于螺旋桨叶面的速度 V 。 为简化论证起见,我们采用相对于叶面的坐标,垂直于叶面向前的方向为 y,沿着叶面方向为 x 。如果算出来风速相对于叶面 y 分量大于零,则说明风打在叶面背面,反则反之。在这个坐标下,叶片的速度 P 向量的分量为 

[ix]P_x = P \cos \theta, P_y = - P \sin\theta[/ix]

风速W的分量为 (注意这是相对于车的风速)(风向向前为正方向)

[ix]W_x = W \sin \theta, W_y = w \cos \theta[/ix]

因此,风相对于叶片的速度 V = W - P 为 

[ix]V_x = W \sin \theta - P \cos\theta \\ V_y = W \cos \theta + P \sin\theta [/ix]

上面关键的是 V_y,如果  V_y 大于零,则风是打在叶面背面而产生从背面推动的压力,从上面的公式表达可以看出,无论 W 是正还是负(顺风还是逆风),都可以通过改变 P与叶面角度\theta 使  V_y 大于零。即使是逆风 (W<0),螺旋桨转足够快、角度足够大,风也可以是打在叶片背面。最极端的情况下,\theta 是90度,P>0, 则风会总是打在背面。从

[ix]V_y = W \cos \theta + P \sin\theta \gt 0[/ix]


上面的W是车子感知的风速,它等于地面风速 u 减去车子前进速度 v,  W = u -v  。我们用一个最简单的模型做个计算,我们假定螺旋桨的叶片像个长柄的扇子,面积为A,距离转轴 L,它横扫的速度等于L 乘以 螺旋桨转速 \omega: P = \omega *L 。另外,螺旋桨叶片转速是与车速耦合的,我们设 [ix]v = \omega R[/ix], R 是一个设计参数,它取决于齿轮大小等。这样我们可以把 V_y 用地面风速 u,车速 v两个变量,与 R, \theta, L 等设计参数表达如下:

[ix]V_y =(u-v) \cos \theta + v \ L / R \ \sin\theta[/ix]

为了产生向前的推力,风必须打在叶片背面,也就是上面的 V_y 必须是正的, 我们有

[ix](u-v) \cos \theta + v \ L / R \ \sin\theta  \gt 0[/ix]

[ix]u\cos \theta + v\ ( \ L / R \ \sin\theta-\cos\theta) \gt 0[/ix]

先对上面的结果进行一些 sanity 检查。如果无风,u=0,那么 上面不等式无法满足,车子跑不起来。如果 \theta =0,相当于螺旋桨叶片垂直对着风,相当于一块帆板,u - v >0,也就是 v<u,车速最多可以达到 风速。进一步观察上面的不等式可以发现,当 [ix]L / R \ \sin\theta \gt \cos\theta[/ix] 时,上面的不等式对于任何正 v 都可以满足,换言之车子的在风中前进的速度没有限制(不考虑车身受到的阻力)。当  [ix]L / R \ \sin\theta \lt \cos\theta[/ix] ,车子的速度则有个上限:

[ix]v \lt \frac{u\ \cos \theta}{ \cos\theta -L / R \ \sin\theta} [/ix]

由于 L, R , \theta 都是车子本身的固定设计参数,是可以事先调整的,因此试验车的理论速度上限取决于车体、螺旋桨的设计,只要有风(相对于地面),如果不考虑车身阻力等因素,在经典力学范围内车子要跑多快就可以多快。如果考虑车体受到的阻力,那么极限速度被阻力限制,通过求解推力等于阻力的方程可以得出。

很多科普作者在网上提出能量守恒的问题。在他们看来,当车速等于车速时,对于车子来说,等于无风,而车速超过风速时,还是逆风,车子却在加速前进,能量从何而来?能量不守恒了吗?

这是一个参照系问题--动能大小、力做功多少是取决于参照系的。如果以跟着车子并排跑的观察者瞬间看来,风打在叶片上、车上,产生压力,但是车子没动,风力也没有做功,0=0,能量守恒。但是这对研究车子相对于地面的速度没有帮助。以地面为参照系,风打在叶片上,同时叶片也在车子前进方向运动,风做功、且自身速度减小,车子动能也产生相应的变化,车子增加的动能来自空气相对于地面的动能的减少。所以,如果地面没有风,车子是跑不起来的。

还有一个问题是我看到这个试验之后想到的,如果车子装个机翼,到速度足够大飞了起来,它能继续加速飞行吗?答案应该是否定的,否则就可以发明一种飞机都不需要燃料、有风就行了。但问题在哪呢?稍作思考发现它这个车的运转依赖地面对驱动轮提供的静摩擦力产生的力矩,否则螺旋桨是无法维持反转的。一旦腾空,螺旋桨就会像风车一样顺着转,也就无法继续获得推力了。

据说莱特兄弟发明飞机之前,很多科学家认定重于空气的物体飞不起来。有时候工程、实验人士确实能想到理论家可能认为不可能的设计。从这个神奇的风动车看,牛顿力学也能产生违背直觉的效果。

补充:更为详细的力的计算

对车子来说重要的是前后方向的力,叶面压力在前后方向的分量才是重要的。这就必须在 V_y 后乘上一个 \cos\theta 。用一个最简单的模型,设质量为m 的空气在叶面弹性反弹,则在车前进方向的动量传递为 

[ix]p_{f} = 2 \ m \ V_y \cos\theta = 2 \ m \ (W \cos\theta + P\sin\theta) \cos\theta[/ix]

后面乘上的这个 \cos\theta 随着角度增大而减小(在90度内),所以要取得最大推力角度优化是一个考虑,而这个最优角度又是与风速、螺旋桨转速相关的。再者,螺旋桨不是一块帆板,其各处扫过来的速度是不同的,离转轴越远速度越大。因此,螺旋桨边缘部分可能风打在背面,靠转轴处速度小,风可能就是打在正面。这些不同作用力得叠加起来。具体来说,设转轴转速为 \omega ,则距离转轴 r 处,叶片速度为  P(r) = \omega * r 。上面的公式就成了。

[ix]p_{f} (r) = 2 \ m \ V_y (r) \cos\theta = 2 \ m \ (W \cos\theta + r \ \omega \sin\theta) \cos\theta[/ix]

设叶片宽为 D, 在一小段叶片 dr 上单位时间内“入射”空气质量 dm/dt 是 [ix]\rho \ dA \ V_y(r) = \rho |V_y(r)|\ D \ dr [/ix]。因此,这一小段叶片上的风推力(或阻力)是 

[ix]dF = 2 \rho {V_y} |V_y|   \ D(r) \cos\theta(r) dr[/ix]

总推力大小是 

[ix] |F |= \int_0^L 2\ \rho {V_y} ^2(r) \ D(r) \cos\theta(r) dr =\\ \int_0^L 2\ \rho\ D(r) \ [W\cos\theta(r) + r\omega\sin\theta(r) ]^2 \cos\theta(r) \ dr[/ix]

上面叶片宽度、角度是可以变化的(如果沿着宽度方向角度也能变就更一般了)。从我们上面的公式中可以看出,在迎风时,靠近转轴处叶片速度慢,可能无法产生推力,而是产生阻力。高效率的叶片应该在靠近转轴处角度增大,且减小宽度,在靠外的地方叶片角度可以减小,增大向前的推力。

车子的极限速度取决于推力与车身其他阻力的平衡。




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